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(./) SO7 OOo1.1

Der Artikel zeigt, wie Fragestellungen bei Binomialverteilungen in Calc gelöst werden können. Dabei geht es hauptsächlich um solche Aufgaben, die in der Schulmathematik typisch sind. Die TabellenKalkulation ermöglicht dabei oft direktere Wege als Taschenrechner und Tafelwerk.

1. Mathematik

Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p, wenn mathematik1.png . Dabei ist P(X =k ) die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X den Wert k annimmt; n und k sind nicht negative ganze Zahlen mit k ≤ n und p ist eine reelle Zahl mit 0<p<1.

mathematik2.png mathematik3.png mathematik4.png

2. Grundlegende Funktionen in Calc

Für Binomialverteilungen stellt Calc mit B und BINOMVERT zwei grundlegende Funktionen zur Verfügung um die Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion funktionen1.png und der kumulierten Wahrscheinlichkeitsfunktion funktionen2.png zu berechnen.

2.1. Funktion B

=B(n;p;k) berechnet funktionen1.png .

=B(n;p;a;b) berechnet funktionen3.png .

Sind die Werte a, b oder k nicht ganzzahlig, werden sie abgerundet. Ist n nicht ganzzahlig, so wird „irgendetwas“ berechnet, der Wert unterscheidet sich jedenfalls von dem bei den benachbarten ganzzahligen Werten.

Mit der Funktion B kann auch die kumulierte Wahrscheinlichkeit funktionen2.png berechnet werden, denn funktionen4.png .

=B(n;p;0;k) berechnet funktionen2.png .

2.2. Funktion BINOMVERT

=BINOMVERT(k;n;p;0) berechnet funktionen1.png .

=BINOMVERT(k;n;p;1) berechnet funktionen2.png .

Mit 0 als letztem Parameter wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnet,
mit 1 als letztem Parameter werden die kumulierten Wahrscheinlichkeiten berechnet, also die Verteilungsfunktion.

Sind die Werte k oder n nicht ganzzahlig, werden sie abgerundet.

2.3. Funktion KRITBINOM

=KRITBINOM(n;p;alpha) berechnet die kleinste ganze Zahl k mit funktionen5.png .

2.4. Funktionen KOMBINATIONEN und FAKULTÄT

=KOMBINATIONEN(n;k) berechnet funktionen6.png, aber im Gegensatz zum Taschenrechner wird dies nicht benötigt, weil Calc die Werte der Binomialverteilung direkt berechnen kann.

In manchen Formelsammlungen findet man noch die Umrechnung funktionen7.png. In Calc ergäbe dies die Formel FAKULTÄT(n)/(FAKULTÄT(k)*FAKULTÄT(n-k)). Ihr Einsatz ist aber weder in Calc noch bei modernen Taschenrechnern sinnvoll.

2.5. Probleme

Bei großen Werten für n entstehen durch Überlauf oder Unterlauf interne Fehler. In der Anzeige erscheint dann #WERT! mit einer Fehlermeldung in der StatusLeiste. Bei der Lösung mit der Funktion FAKULTÄT ist schon n=171 zu groß, die Funktion KOMBINATIONEN ist etwa bis n=1030 benutzbar. Die Lösungen mit der Funktion BINOMVERT oder der Funktion B arbeiten abhängig von dem Wert für die Erfolgswahrscheinlichkeit p unterschiedlich zufriedenstellend. Für p≈0,5 entsteht ein Fehler schon bei etwa n=2000, für p nahe 0 oder 1 sind Werte über n=10000 möglich. Für noch größere Werte für n können Approximationen mit der stetigen Normalverteilung benutzt werden.

3. Erwartungswert und Standardabweichung

Während man bei beliebigen Zufallsvariablen die gesamte Verteilung als Tabelle benötigt, existieren für Binomialverteilungen einfache Formeln.

Erwartungswert erwart1.png , Standardabweichung erwart2.png .

Diese können direkt in Calc umgesetzt werden.

=n*p berechnet den Erwartungswert.

=WURZEL(n*p*(1-p)) berechnet die Standardabweichung.

Beispiel: Ein Würfel wird 10-mal geworfen. Bestimme Erwartungswert µ und Standardabweichung σ der Zufallsgröße „Anzahl der Sechsen“.

erwart3.png und erwart4.png

Die Berechnungen in Calc lauten
=10*1/6 für den Erwartungswert und
=WURZEL(10*1/6*5/6) für die Standardabweichung.

4. Beispiele

4.1. Genau k Treffer

Ein Würfel wird 10-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den zehn Wurf genau drei Sechsen sind?

beispiele1.png

Die Berechnung in Calc lautet =BINOMVERT(3;10;1/6;0) oder =B(10;1/6;3)

Die bei Taschenrechnern durchaus übliche Lösung =KOMBINATIONEN(10;3)*(1/6)^3*(5/6)^7 ist für Calc nicht optimal.

Das Lösungsprinzip =FAKULTÄT(10)/(FAKULTÄT(3)*FAKULTÄT(7))*(1/6)^3*(5/6)^7 ist völlig ungeeignet, weil schon ab n=170 die Zwischenergebnisse zu groß werden.

4.2. Höchstens k Treffer

Bei der Herstellung von Schrauben geht man davon aus, dass 1% der Schrauben fehlerhaft sind, so dass man sie nicht benutzen kann. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Packung mit 500 Schrauben höchstens 8 defekte Schrauben enthält?

beispiele2.png

Die Berechnung in Calc lautet =BINOMVERT(8;500;0,01;1) oder =B(500;0,01;0;8).

4.3. Mindestens k Treffer

Bei einer bestimmten Blumensorte geht man davon aus, dass 25% der Pflanzen weiße Blüten tragen und 75% rote Blüten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in einem Beet mit 800 Pflanzen mindestens 220 Pflanzen mit weiße Blüten zu finden?

beispiele3.png

Die Berechnung in Calc lautet =B(800;0,25;220;800).

Die beim Benutzen von Tafelwerken übliche Umformung beispiele4.png und damit die Formel =1-BINOMVERT(219;800;0,25;1) ist für Calc nicht erforderlich.

4.4. Mindestens a und höchstens b Treffer

Bei einer bestimmten Blumensorte geht man davon aus, dass 25% der Pflanzen weiße Blüten tragen und 75% rote Blüten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in einem Beet mit 800 Pflanzen mindestens 180 und höchstens 220 Pflanzen mit weiße Blüten zu finden?

beispiele5.png

Die Berechnung in Calc lautet =B(800;0,25;180;220)

Die beim Benutzen von Tafelwerken übliche Umformung beispiele6.png und damit die Formel =BINOMVERT(220;800;0,25;1)-BINOMVERT(179;800;0,25;1) ist in Calc nicht erforderlich.

4.5. Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe

Bei einer Wahl gab es 24,2% Nichtwähler. Es werden Stichproben von jeweils 100 Wahlberechtigten bezogen. In welchem Intervall um den Erwartungswert wird in mindestens 95% der Fälle die Anzahl der Nichtwähler in der Stichprobe liegen?

Gesucht ist der kleinste Wert für r mit beispiele7.png .

Um ein solches Problem in Calc direkt zu lösen, muss man von der diskreten Binomialverteilung zur Approximation mit der stetigen Normalverteilung wechseln.

Ansonsten kann man das Intervall durch Probieren ermitteln, indem man in der Formel =B(100;0,242;µ-r;µ+r) den Wert r so variiert, dass das Ergebnis gerade 0,95 überschreitet.

Die Größenordnung von r lässt sich mit =KRITBINOM(100;0,242;0,95+(1-0,95)/2)-µ näherungsweise ermitteln. Die ZielwertSuche (Extras → Zielwertsuche) liefert hier leider in der Praxis oft unbrauchbare Ergebnisse.

4.6. Einseitiger Hypothesentest

Bei einer bestimmten Blumensorte weiß man, dass 25% der Pflanzen weiße Blüten tragen und 75% rote Blüten. Wissenschaftler vermuten, dass die Behandlung der Pflanzen mit einem bestimmten Stoff das Herausbilden der roten Farbe behindert, und legen ein Versuchsbeet mit 1000 Pflanzen an. Gesucht ist der kritischer Wert k zur Trennung zwischen Verwerfungs- und Annahmebereich zu einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%.

Es muss also ein Wert k bestimmt werden, sodass beispiele8.png und beispiele9.png . Bei einem Versuchausgang mit einer Anzahl roter blühender Pflanzen unter k wird die Hypothese p≥0,75 verworfen.

=KRITBINOM(1000;0,75;0,05) liefert eine solche Zahl, hier k = 727. Eine Probe zeigt, dass =B(1000;0,75;0;726) den Wert 0,0440963297165434 liefert und =B(1000;0,75;0;727) den Wert 0,0511946713027777.


KategorieCalc


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